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永利皇宫董事长之女_悄悄告诉你,什么才叫数学功底!

发布时间:2020-01-11 16:38:10 浏览次数:4590

永利皇宫董事长之女_悄悄告诉你,什么才叫数学功底!

永利皇宫董事长之女,数学思维

数学之美

数学功底是什么?一言以蔽之,数学的思维方式。

数学的思维方式学得好,就算拿到一个新概念,也能快速理解并用来解决问题。就算不知道,只需要在遇到的时候现学就可以了。

那数学的思维方式有哪些呢?

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严格

这里说严格是区别于严谨。严谨更强调对细节的注意。而这里说的严格,就是严格套定义!定义说什么就是什么,不要掺入自己的想法!然后严格按定义严格判断和证明!不要去想什么理不理解,定义就是那个样子,我经常很头疼的一个问题就是我不理解xx(概念),你给我讲一下。我直觉就是,有什么不理解的,定义就在那里,符合就对,不符合就错,没什么不理解的。

定义就在那里,非空集合,二元运算(从名字上就可以理解,二元就是两个元素,二元运算,显然就是两个元素参与的运算),封闭性,结合律,单位元,逆元的概念就在那里,清晰明了,没什么可以说的。然后问一个问题:实数对加法是否构成一个群?实数显然非空,加法也显然是一个二元运算。

来看定义。

(1)封闭性。对实数集中任意两个数a,b,a+b=c,c是唯一的吗,c也属于g吗?显然是肯定的,这条符合;

(2)结合律成立。任意(a+b)+c是否等于a+(b+c),太明显了,肯定成立;

(3)单位元存在。是否有某个实数e,使得实数a+e=e+a=a,什么数e加上一个另一个数会等于那个数本身呢,显然是0 ,单位元存在;

(4)逆元存在,任意一个数a ,是否存在b,使a+b=0呢,显然是对应的负数。成立。

所以,实数集对加法构成群。

根据这个定义,也很容易判断,实数集对乘法不构成群。0不存在逆元。

这里用到了那些知识?除了可能有人不认识,其他的都应该是一个初中生都能知道的。

换句话说,给一个初中生看完群的概念,再让他判断实数集对加法能否构成一个群,都应该能判断出来!!

但是有多少初中生能独立判断出来?

严格按定义,看起来不值一提,但这是一种很深刻的数学素养,没见过的数学知识太多,如何在第一次遇到就迅速学习?就是严格看定义,不要去想什么理不理解。

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思想方法

其中最核心的是分析和综合。

综合,就是从已知条件进行推导,看能得到什么东西。

分析,就是从问题出发,看要解决问题,需要哪些东西。

一个综合的例子:对于一个非齐次线性方程组ax=b,是其中r个解,记,若也是方程组的解,求。

已知a*=b,a*=b,a*=b,

也是解,那么a*=b,是个什么呢?

,于是a=b,

但是又注意到a*=b,a*=b,a*=b,于是

然后,一目了然,

一个分析的例子:

我们现在将上一个例子改为证明,就是证明=1,为了证明这一串式子等于1,要是能证明或就好了。对于后面一个,一看,,于是

显然是成立的,就证明成功了。写过程的时候到去就可以了。这个例子可能不是很好⊙▽⊙只是为了说明从问题出发到已知条件的过程。

分析和综合多半是同时应用的,分析遇到难点就综合一下,然后继续推进。分析和综合的时候可能会得出一些没有用的推论,比如,就不是很有用,用排除法,去掉没有用的就可以了。

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问题转化

对问题进行转化有两种很重要的思维方式:构造和映射。

构造就是构造一个函数、方程、新定义来解决和证明问题。

比如为了证明一个多项式比另一个大,构造一个差函数,用导数来证明差大于0。

映射就是将问题映射为一个模型或其他的东西,这个可能在科研里用得比较多。

图论里面也有很多例子。比如著名的七桥问题。

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多说几句

那么,数学功底究竟指的是什么?是建立模型解决问题的能力?是对纯数学的理解?是题海战术后会有的必然结果?还是只要认真思考,保持好奇心和求知欲后,对数学的那种不再惧怕,反而更加喜欢?

数学功底,如我开头所说,最本质是一种思维方式,但是这种思维方式一般要经过大量的练习和知识的积累才能形成。

我也是做了很多题之后才逐渐明晰这些想法。

平常看证明,看问题解析的时候的时候,不妨多想想,是如何来构造、对问题进行转化的,证明的结构是什么,先证明什么后证明什么。

有意识地培养上面提到的数学的思维方式,抓定义,分析,综合,构造,映射。

做题的时候也要有意识地运用分析综合的思想,想想从已知条件得到什么,哪些是有用的,哪些是没有用的。如果要构造一个东西来解决问题,应该怎么办…………多学习新知识。多接触新的领域,才能逐渐融会贯通。对知识有深入的理解,建立模型解决问题的能力才能逐渐增强。所谓以不变应万变。

认真思考,保持好奇心是很有必要的。放哪里都成立。

很多数学思想是在特定的场合下才能展现出其魅力的。

数学最大的魅力就在于下定义. 有人说 manin 说过: "a good definition takes a group of first class mathematicians search in the dark for 30 years. " 恰当的定义可以让我们用恰当的观点看问题. 当我们从恰当的观点看问题, 一切都变得简单而自然。

本文由超级数学建模编辑整理

转载自周瑶(知乎)

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